判断二分图

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题目描述

给定一个无向图graph，当这个图为二分图时返回true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i] 中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

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示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true
解释: 
无向图如下:
0----1
|    |
|    |
3----2
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。
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示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释: 
无向图如下:
0----1
| \  |
|  \ |
3----2
我们不能将节点分割成两个独立的子集。

注意:

graph 的长度范围为 [1, 100]。
graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

题目解答

染色法：如果给定的无向图连通，那么我们就可以任选一个节点开始，给它染成红色。随后我们对整个图进行遍历，将该节点直接相连的所有节点染成绿色，表示这些节点不能与起始节点属于同一个集合。我们再将这些绿色节点直接相连的所有节点染成红色，以此类推，直到无向图中的每个节点均被染色。

如果我们能够成功染色，那么红色和绿色的节点各属于一个集合，这个无向图就是一个二分图；如果我们未能成功染色，即在染色的过程中，某一时刻访问到了一个已经染色的节点，并且它的颜色与我们将要给它染上的颜色不相同，也就说明这个无向图不是一个二分图。

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from typing import List

class Solution:
    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        colors = [0] * len(graph)
        valid = True

        def dfs(node: int, c: int):
            nonlocal valid
            colors[node] = c
            cNei = 2 if c == 1 else 1
            for neighbor in graph[node]:
                if colors[neighbor] == 0:
                    dfs(neighbor, cNei)
                    if not valid:
                        return
                elif colors[neighbor] != cNei:
                    valid = False
                    return

        for i in range(len(graph)):
            if colors[i] == 0:
                dfs(i, 1)
                if not valid:
                    break
        return valid
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public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    List<Integer>[] graphic = new List[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        graphic[i] = new ArrayList<>();
    }
    for (int[] pre : prerequisites) {
        graphic[pre[0]].add(pre[1]);
    }
    boolean[] globalMarked = new boolean[numCourses];
    boolean[] localMarked = new boolean[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, i)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

private boolean hasCycle(boolean[] globalMarked, boolean[] localMarked,
                         List<Integer>[] graphic, int curNode) {

    if (localMarked[curNode]) {
        return true;
    }
    if (globalMarked[curNode]) {
        return false;
    }
    globalMarked[curNode] = true;
    localMarked[curNode] = true;
    for (int nextNode : graphic[curNode]) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, nextNode)) {
            return true;
        }
    }
    localMarked[curNode] = false;
    return false;
}

课程表

力扣地址

题目描述

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

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输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

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输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

提示：

  • 输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法
  • 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
  • 1 <= numCourses <= 10^5

题目解答

判断是否有环，对我来说关键还是转换为图。。。

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import collections
from typing import List


class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        edges = collections.defaultdict(list)
        visited = [0] * numCourses
        result = list()
        valid = True
        for info in prerequisites:
            edges[info[1]].append(info[0])

        def dfs(u: int):
            nonlocal valid
            visited[u] = 1
            for v in edges[u]:
                if visited[v] == 0:
                    dfs(v)
                    if not valid:
                        return
                elif visited[v] == 1:
                    valid = False
                    return
            visited[u] = 2
            result.append(u)

        for i in range(numCourses):
            if valid and not visited[i]:
                dfs(i)
        return valid
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public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    List<Integer>[] graphic = new List[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        graphic[i] = new ArrayList<>();
    }
    for (int[] pre : prerequisites) {
        graphic[pre[0]].add(pre[1]);
    }
    boolean[] globalMarked = new boolean[numCourses];
    boolean[] localMarked = new boolean[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, i)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

private boolean hasCycle(boolean[] globalMarked, boolean[] localMarked,
                         List<Integer>[] graphic, int curNode) {

    if (localMarked[curNode]) {
        return true;
    }
    if (globalMarked[curNode]) {
        return false;
    }
    globalMarked[curNode] = true;
    localMarked[curNode] = true;
    for (int nextNode : graphic[curNode]) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, nextNode)) {
            return true;
        }
    }
    localMarked[curNode] = false;
    return false;
}

课程表Ⅱ

题目描述

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。

示例 1:

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输入: 2, [[1,0]] 
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2:

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输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
     因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

说明:

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
提示:

这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

题目解答

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class Solution:
    def findOrder(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> List[int]:
        # 存储有向图
        edges = collections.defaultdict(list)
        # 标记每个节点的状态：0=未搜索，1=搜索中，2=已完成
        visited = [0] * numCourses
        # 用数组来模拟栈，下标 0 为栈底，n-1 为栈顶
        result = list()
        # 判断有向图中是否有环
        valid = True

        for info in prerequisites:
            edges[info[1]].append(info[0])
        
        def dfs(u: int):
            nonlocal valid
            # 将节点标记为「搜索中」
            visited[u] = 1
            # 搜索其相邻节点
            # 只要发现有环，立刻停止搜索
            for v in edges[u]:
                # 如果「未搜索」那么搜索相邻节点
                if visited[v] == 0:
                    dfs(v)
                    if not valid:
                        return
                # 如果「搜索中」说明找到了环
                elif visited[v] == 1:
                    valid = False
                    return
            # 将节点标记为「已完成」
            visited[u] = 2
            # 将节点入栈
            result.append(u)
        
        # 每次挑选一个「未搜索」的节点，开始进行深度优先搜索
        for i in range(numCourses):
            if valid and not visited[i]:
                dfs(i)
        
        if not valid:
            return list()
        
        # 如果没有环，那么就有拓扑排序
        # 注意下标 0 为栈底，因此需要将数组反序输出
        return result[::-1]
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public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    List<Integer>[] graphic = new List[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        graphic[i] = new ArrayList<>();
    }
    for (int[] pre : prerequisites) {
        graphic[pre[0]].add(pre[1]);
    }
    Stack<Integer> postOrder = new Stack<>();
    boolean[] globalMarked = new boolean[numCourses];
    boolean[] localMarked = new boolean[numCourses];
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, i, postOrder)) {
            return new int[0];
        }
    }
    int[] orders = new int[numCourses];
    for (int i = numCourses - 1; i >= 0; i--) {
        orders[i] = postOrder.pop();
    }
    return orders;
}

private boolean hasCycle(boolean[] globalMarked, boolean[] localMarked, List<Integer>[] graphic,
                         int curNode, Stack<Integer> postOrder) {

    if (localMarked[curNode]) {
        return true;
    }
    if (globalMarked[curNode]) {
        return false;
    }
    globalMarked[curNode] = true;
    localMarked[curNode] = true;
    for (int nextNode : graphic[curNode]) {
        if (hasCycle(globalMarked, localMarked, graphic, nextNode, postOrder)) {
            return true;
        }
    }
    localMarked[curNode] = false;
    postOrder.push(curNode);
    return false;
}